연결 공간

Connected Space

1. 정의

1.1. 연결 공간1.2. 경로 연결 공간1.3. 연결성분1.4. 경로 연결성분

2. 연결성과 열린 닫힌 집합3. 국소적 연결 공간4. 단순 연결

1. 정의 [편집]

1.1. 연결 공간 [편집]

연결 공간을 직접적으로 정의하는 것이 아니라 비연결 공간을 정의하고 비연결이 아닌 공간을 연결 공간이라 한다.

위상 공간 $X$ 의 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $A, B$ 에 대하여, $X= A\cup B$ 이고 $A\cap B = \emptyset$ 이면 $\{ A, B\}$ 를 $X$ 의 분리(separation)라 하고 $X$ 의 분리 $\{ A, B\}$ 가 존재하면 $X$ 는 비연결 공간(disconnected space)라 한다.

위상 공간

X

가 연결(connected)이란

X

의 분리

\{ A, B\}

가 존재하지 않는 경우를 말한다. 이러한 공간을 연결 공간(connected space)이라 한다.

1.2. 경로 연결 공간 [편집]

경로연결공간(path-connected space)는 모든 점이 경로로 연결된 공간이다. 이를 수학적으로 서술하면 다음과 같다.

위상 공간 $X$ 상의 임의의 두 점 $p, q$ 에 대하여 $\gamma(0)=p, \gamma(1)=q$ 를 만족하는 연속함수 $\gamma\colon[0, 1]\to X$ 가 존재할 때, $X$ 를 경로연결공간(path-connected space)이라 한다.

쉽게 말해, 아무 점을 두 개 잡았을 때 한 점에서 출발해 다른 한 점으로 도착하는 연속함수를 항상 잡을 수 있다는 뜻이다. 이것이 불가능한 공간을 비경로연결공간(path-disconnected space)이라고 한다.

위 경로연결공간의 정의에서 나와있듯이, 두 점

p, q\in X

에 대하여

\gamma(0)=p, \gamma(1)=q

를 만족하는 연속함수

\gamma\colon[0, 1]\to X

를

p

와

q

사이의 경로(path)라고 한다.

자명하게, 경로연결이면 연결이다. 증명은 가정법을 이용, f-1(U), f-1(V)를 잡고, [0,1]이 연결공간인걸 이용하면 된다. [0,1]이 연결공간인 건 해석개론 시간에 지겹게 할테니 패스. ~~아니면 누가 달아주던가~~

반면, 연결공간이 항상 경로연결공간인 것은 아니다. 좋은 반례로 위상수학자의 사인곡선이 있다.

일반적으로, 다양체에서는 경로연결과 연결이 동치라는 것이 알려져 있다.

1.3. 연결성분 [편집]

위상공간

X

의 점

x

를 포함하는 가장 큰 연결부분공간을

x

의 연결성분이라 한다.

1.4. 경로 연결성분 [편집]

위상공간

X

의 점

x

와 경로로 연결할 수 있는 모든 점들의 집합을

x

의 경로 연결성분이라 한다.

2. 연결성과 열린 닫힌 집합 [편집]

X

가 비연결공간이면 정의에 따라서, 공집합이 아니고 서로소인 두 열린 집합

U, V \in X

가 존재하여

X=U\cup V

를 만족한다. 그렇다면

U = X \setminus V

이므로

U

는 열린 동시에 닫혔고,

V

역시 마찬가지다.

반대로

X

가 연결공간이면 열린 닫힌 집합이

\emptyset

,

X

뿐이다.

3. 국소적 연결 공간 [편집]

위상공간

(X,\mathcal{T})

에 대하여,

X

의 모든 점이 항상 연결부분공간인 근방을 지닐 때 국소 연결 공간(Locally Connected Space)이라고 부른다.

즉, 위상공간

\left(X, \mathcal{T}\right)

이 주어졌을 때, 임의의

x \in X

에 대하여

x \in Y \subset X

인 근방 Y가 X의 부분공간으로서 위상르 주었을 때 연결공간이 될 수 있다는 뜻이다.

4. 단순 연결 [편집]

단순연결공간(simply connected space)는 길연결보다 강한 연결의 개념이며 주로 다음과 같이 정의된다.

위상 공간 $X$ 의 기본군이 자명군일때 이를 단순연결공간(simply connected space)이라 한다.

더 자세히 들어가려면 연속변형이니 기본군이니 왱알왱알 해야 하지만 조금 직관적으로 설명해 보자면 우리가 경로 연결성을 판단할 때는 두 점을 잇는 곡선을 그릴수 있냐로 판단할 수 있다. 그렇다면 속이 꽉 찬 원판과 그것의 가운데에 구멍이 난 원판을 생각을 해 보자. 둘다 아무 점이나 둘을 찍어 곡선을 연결하는것은 어려운 일이 아닐 것이다. 이제 곡선중 시작점과 끝점이 같은 고리형태의 곡선을 생각해보자. 원판에서는 자연스럽게 시작점으로 끌어 당길 수 있지만 구멍이 나 있는 공간에서 구멍을 감싸는 곡선이라면 구멍이 난 부분을 통과하기 위해서는 들어오기 위해서는 구멍을 빠져나오는 과정이 적어도 한번 필요하다. 그리고 전자의 경우를 단순연결이라 한다.

더 쉽게 말하면 아무 닫힌곡선이든 한점으로 수축가능하다면 그것이 단순연결이라는 것이다.